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Misura degli indici di rifrazione

L'indice di rifrazione per le diverse lunghezze d'onda, si determina misurando l'angolo di deflessione minima delle varie righe della lampada.

La procedura della misura e' la determinazione della posizione della della linea al minimo di deflessione $\theta _{m}\left( \lambda \right)$ per le varie linee.

Successivamente, togliendo il prima si misura la posizione $\theta _{0}$ del fascio non deflesso.

L'angolo di deviazione minima

$\begin{displaymath} \delta _{m}\left( \lambda \right) =\theta _{m}\left( \lambda \right) -\theta _{0}\end{displaymath}$

è collegato all'indice di rifrazione dalla relazione

$\begin{displaymath} n\left( \lambda \right) =\frac{\sin \frac{\delta _{m}\left( \lambda \right) +\alpha }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}. \end{displaymath}$

(3)

Ricordiamo che, mentre i valori di $\theta _{m}\left( \lambda \right)$ sono diversi (ed indipendenti) tra loro, i valori di $\alpha$ e $\theta _{0}$ sono gli stessi per tutti i valori di $\lambda$ .

Per simulare l'esperimento bisognerà procedere in maniera analoga al caso della misura di $\alpha$ :

dati i valori di $\lambda$ dalla tabella 1 ed i valori $A_{\textrm{vero}}$ e $B_{\textrm{vero}}$ , determinare i valori di $n_{\textrm{vero}}\left( \lambda \right)$ ;
da $n_{\textrm{vero}}\left( \lambda \right)$ e $\alpha _{\textrm{vero}}$ , ricavare i valori $\delta _{m,\textrm{vero}}\left( \lambda \right)$ ;
scegliere $\theta _{0,\textrm{vero}}$ come un numero casuale tra $0^{\circ }$ e $180^{\circ }$ ;
da $\delta _{m,\textrm{vero}}\left( \lambda \right)$ e $\theta _{0,\textrm{vero}}$ , ricavere i valori di $\theta _{m,\textrm{vero}}\left( \lambda \right)$ ;
simulare i valori osservati $\theta _{0}$ e $\theta _{m}\left( \lambda \right)$ , aggiungendo ai valori veri un errore casuale (gaussiano con sigma pari a $\sigma _{\theta }$ );
simulare il valore osservato di $\alpha$ , aggiungendo al valore vero un errore casuale con la sigma determinata nella sezione 3;
determinare i valori osservati $n\left( \lambda \right)$ .

Scrivere un programma, (od una macro) che scriva su di un file i risultati, ovvero i valori osservati di $n\left( \lambda \right)$ , per 10000 esperimenti di questo tipo.

Scegliere due lunghezze d'onda e fare gli istogrammi dei residui $\epsilon _{i}=n\left( \lambda _{i}\right) -n_{\textrm{vero}}\left( \lambda _{i}\right)$ con $i=1,2$ . Qual è l'errore finale sulla misura di $n\left( \lambda \right)$ ? La sigma della distribuzione è quella che ci si attende dalla propagazione degli errori?

Fare l'istogramma bidimensionale di $\epsilon _{1}$ verso $\epsilon _{2}$ . Com'è questa distribuzione? Calcolare il coefficiente di correlazione $\rho$ tra queste due quantità:

$\begin{displaymath} \rho =\frac{\left\langle \epsilon _{1}\epsilon _{2}\right\ra... ...\rangle }\sqrt{\left\langle \epsilon _{2}^{2}\right\rangle }}. \end{displaymath}$ (4)

Qual è l'origine della correlazione?

Uno degli scopi principali di una simulazione è ottenere delle informazioni utili su come effettuare l'esperimento. Per esempio, siccome $\alpha$ e $\theta _{0}$ sono utilizzate per tutte le lunghezze d'onda, potremmo decidere di effettuare multiple misure di queste grandezze, per migliorarne la precisione.

Ciò ha senso soltanto se le incertezze su queste grandezze dominano la misura.

Per vedere qual'è il contributo dell'incertezza su $\alpha$ all'incertezza totale, rigenerare un campione di 10000 esperimenti, stavolta però assumendo precisione assoluta nella determinazione di $\theta _{m}\left( \lambda \right)$ e $\theta _{0}$ . In tal caso la larghezza dei residui sarà dovuta solo ad una sorgente di incertezza.

Ripetere la procedura per valutare l'effetto dell'incertezza su $\theta _{0}$ e su $\theta _{m}\left( \lambda \right)$ .

Come si presentano gli istogrammi bidimensionali ed il valore di $\rho$ per questi tre casi?

Se l'errore su $\alpha$ o su $\theta _{0}$ danno un contributo maggiore di quello di $\theta _{m}\left( \lambda \right)$ , quante volte sarà necessario ripetere la misura di queste quantità per avere un errore confrontabile?

Per terminare questa parte, bisognerà rigenerare l'insieme di 10000 esperimenti, assumendo su $\alpha$ un errore tale da dare un contributo all'errore sugli $n\left( \lambda \right)$ simile a quello di $\theta _{m}\left( \lambda \right)$ .

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Attilio Andreazza 2000-11-15