Rette e correlazioni

La motivazione di questa discrepanza è che la formula del fit assumeva che gli errori dei singoli punti siano scorrelati, mentre è stato dimostrato che gli errori su $\theta _{0}$ e $\alpha$ inducono una forte correlazione tra i valori misurati di $n\left( \lambda \right)$ .

**Figure 1:** Retta passante per due punti simmetrici rispetto all'origine.
$\resizebox*{1\columnwidth}{!}{\includegraphics{correl1.eps}}$

In figura 1 è mostrato il caso di una retta passante per due punti, misurati simmetricamente rispetto all'origine. Se indichiamo la retta come

$\begin{displaymath} A=\frac{y_{2}+y_{1}}{2},\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} B=\frac{y_{2}-y_{1}}{2a}.\end{displaymath}$

Assumiamo che i punti abbiano un errore $\sigma _{y}$ sulla misura delle ordinate. Se gli errori sono indipendenti, la normale propagazione degli errori ci dice le incertezze su $A$ e $B$ sono

$\begin{displaymath} \sigma _{B}=\frac{1}{\sqrt{2}a}\sigma _{y},\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \sigma _{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma _{y}.\end{displaymath}$

Supponiamo invece che gli errori siano completamente correlati, ovvero che se $y_{1}$ differisce dal valore vero di una certa quantità, allora $y_{2}$ pure differisce dal valore vero della stessa quantità. Nel caso della simulazione, questo era l'effetto che si aveva nei casi in cui l'unica incertezza era su $\alpha$ o su $\theta _{0}$ . In tal caso è ovvio che $B$ viene calcolato senza incertezze, perché i due punti si muovono insieme e non cambia il valore del coefficiente angolare. Per quanto riguarda $A$ invece, essendo i due punti correlati farne la media non riduce l'errore e quindi si ha

$\begin{displaymath} \sigma _{B}=0,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \sigma _{A}=\sigma _{y}.\end{displaymath}$

Quindi in questo esempio vediamo che l'effetto della correlazione è di ridurre l'incertezza su $B$ , aumentando però quella su $A$ .

**Figure 2:** Retta attraverso due punti generici.
$\resizebox*{1\columnwidth}{!}{\includegraphics{correl2.eps}}$

Consideriamo ora il caso in figura 2, in cui i punti si scostano dall'origine delle ascisse. In tal caso la relazione per $B$ è sempre la stessa:

$\begin{displaymath} B=\frac{y_{2}-y_{1}}{2a},\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} A=y_{1}-\frac{y_{2}-y_{1}}{2a}x_{1}.\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \sigma _{A}=\sqrt{\frac{x^{2}_{1}+\left( x_{1}+2a\right) ^{2}}{\left( 2a\right) ^{2}}}\sigma _{y}.\end{displaymath}$

Se i punti sono completamente correlati, come nel caso precedente, allora $B$ è senza errore. Di conseguenza il contributo dell'errore di estrapolazione è nullo e si ha di nuovo $\sigma _{B}=0$ e $\sigma _{A}=\sigma _{y}$ .

In tal caso, a seconda che del valore dell'errore di estrapolazione, punti correlati possono anche dare una stima di $A$ migliore di quella che si avrebbe in assenza di correlazione.

Nell'esperienza i valori della $x$ andavano tra $3\times 10^{-6}$ e $6\times 10^{-6}\textrm{ nm}^{-2}$ , e quindi si discostavano tutti dallo zero. Esisteva inoltre una significativa (ma non completa) correlazione tra i punti. Di conseguenza i valori di $A$ e $B$ ricavati come risultato della procedura di fit avevano un'incertezza (ricavata dalla distribuzione degli scarti) inferiore di quanto calcolato con la propagazione degli errori nel caso di errori scorrelati.

In teoria è possibile tenere conto delle correlazioni nel momento del fit e quindi dare analiticamente una stima corretta degli errori. La matematica però è molto più complicata ed in quasi tutti i casi concreti è più semplice dare la stima degli errori veri attraverso una simulazione della procedura di raccolta ed analisi dei dati.