Lezione 8

Lezione 8
Metodi Monte Carlo

In questa lezione vedremo l'applicazione di alcune tecniche Monte Carlo.

ESERCIZIO 8.0 - Integrazione Monte Carlo con Accept/Reject (da consegnare):
Implementare un codice per il calcolo dell'integrare con il metodo accept/reject della funzione sin(x) tra [0,π]. Controllare stampando a video i risultati che al crescere del numero dei punti generati il valore calcolato dell'integrale converge al valore vero entro l'errore statistico.

Brevi Richiami
Metodo Accept-Reject

ESERCIZIO 8.1 - Verifica del Teorema del Limite centrale (da consegnare):
Calcolare l'integrale di una gaussiana standard (media = 0; sigma = 1) nell'intervallo [-1,+1] con il metodo accept-reject. Suggerimento: siccome la gaussiana è simmetrica rispetto alle ordinate, sarà sufficiente calcolarne l'integrale ad esempio nell'intervallo [0,1] generando un punto casuale in un quadrato di lato 1. L'integrale è calcolato raddoppiando il rapporto tra il numero di punti che cadono sotto la curva rispetto al totale di punti generati.
Effettuare un "esperimento" di calcolo dell'integrale con numero totale di punti generati fissato. Calcolare la media dei risultati ottenuti ripetendo l'esperimento N volte, con N = 1, 2, 10, 100, 1000, ecc. Tutto questa procedura deve essere ripetuta M volte (M fissato) in modo da avere a disposizione un campione costituito da M "medie". Fare un istogramma (con ROOT) con le medie e verificare che gli istogrammi così ottenuti convergono ad una distribuzione gaussiana all'aumentare di M con varianza decrescente.

Brevi richiami
Teorema del Limite Centrale

ESERCIZIO 8.2 - Multidimensionalità (da consegnare):
Verificare l'andamento del rapporto S_n/R_n dove S_n è il volume di una sfera n-dimensionale di raggio 1 e R_n è il volume del "cubo" n-dimensionale ad essa circoscritto (N.B. R_n ha lato 2). Si usi l'integrazione Monte Carlo, con la funzione integranda costituita da una funzione caratteristica, pari a 1 all'interno della sfera, e pari a 0 nei restanti punti del "cubo".
Se ne traggano indicazioni circa il numero dei punti da generare per avere una precisione comparabile tra le diverse scelte della dimensione dello spazio considerato. Suggerirei n^d limitandoci a piccoli valori di d (d<10).
L'integrale di una sfera d-dimensionale di raggio 1 è dato data π^d/2/&Gamma(d*0.5+1) dove &Gamma è la funzione gamma. Si chiede di calcolarne il valore per d=1,2,3 (pensate al volume della sfera e invertite la formula).