Consideriamo la seconda legge della dimanica di Newton a=d2x/dt2 = F/m che è un'equazione differenziale del secondo ordine che può essere ridotta ad un'equazione differenziale del prim'ordine introducendo la variabile velocità dx/dt = v dv/dt = F/m Il metodo di Eulero consiste nel calcolare lo stato della soluzione al tempo t+h dato quello ad un tempo t tramite le espressioni: x(t+h) = x(t) + h*dx/dt = x(t) + h*v v(t+h) = v(t) + h*dv/dt = v(t) + h*F/m

Le classi astratte FunzioneVettorialeBase e EquazioneDifferenzialeBase contengono (almeno per ora) solo un metodo virtuale puro, rispettivamente Eval e Passo. Per comodità possiamo mettere nello stesso file anche le classi concrete che, oltre ad avere l'implementazione dei metodi virtuali dovranno implementare un costruttore ed un distruttore. L'header file contente le dichiarazioni delle classi è quindi: Una volta implementate le classi (l'implementazione di Eulero è semplicissima se si usano le operazioni di algebra vettoriale), un possibile programma per risolvere l'esercizio è il seguente: Si riveda il solito esempio (qui) per l'uso dei TGraph di ROOT.

Il metodo di Eulero non è molto preciso, in effetti con un passo di integrazione modesto si vede come esso possa risultare instabile, mostrando oscillazioni la cui ampiezza varia con il tempo. La figura sotto mostra l'andamento di x in funzione di t con un passo di integrazione di 0.1 s: Per avere qualcosa di anche solo visivamente accettabile, bisogna andare a passi di almeno 0.0002 s: Caccia all'errore: presentare due grafici come questi all'esame comporterebbe boccaitura immediata. Perché? Suggerimento: nel preparare i grafici per la presentazione ci si deve sempre ricordare di specificare cosa stiamo rappresentando sugli assi ! La figura seguente riporta l'errore accumulato dopo 70 s di integrazione per diversi valori del passo: Si noti come la pendenza della curva sia 1 in una scala log-log, mostrando come l'errore ottenuto sia proporzionale al passo h.

Il noto metodo di Runge-Kutta è un metodo del quarto ordine ed utilizza la seguente determinazione dell'incremento: k1 = dx/dt(t,x) k2 = dx/dt(t+h/2,x+k1*h/2) k3 = dx/dt(t+h/2,x+k2*h/2) k4 = dx/dt(t+h,x+k3*h) x(t+h) = x(t) + (k1+ 2*k2+2*k3 + k4)*(h/6)

Il metodo di Runge-Kutte del quarto ordine è molto più preciso del metodo di Eulero, infatti, anche con un passo di integrazione di 0.1 s produce oscillazioni molto stabili: La figura seguente riporta l'errore accumulato dopo 70 s di integrazione per diversi valori del passo: Si noti come la pendenza della curva nella sua parte iniziale sia 4 in una scala log-log, mostrando come l'errore ottenuto sia proporzionale a h4. Quando l'errore di troncamento del metodo diventa minore degli errori di arrotondamento della macchina si vede che non c'è più alcun miglioramento nel ridurre il passo, anzi, il maggior numero di calcoli richiesto risulta in un peggioramento globale dell'errore.

L'equazione del pendolo è data dalla relazione d2θ/dt2 = -(g/l)sinθ dove g=9.8 m/s2 è l'accellerazione di gravità sulla superficie terreste mentre l è la lunghezza del pendolo. L'equazione differenziale si può approssimare con quella di un oscillatore armonico per piccole oscillazioni, sinθ∼θ. In tal caso le oscillazioni risultano isocrone cioè, con periodo indipendente dall'ampiezza delle oscillazioni. Questa però è solo un'approssimazione, e per grandi oscillazioni bisogna usare l'equazione esatta. Essendo il moto non più armonico, il periodo di oscillazione dipende dall'ampiezza della stessa. La figura illustra il periodo al variare dell'ampiezza per un pendolo con l=1 m: si noti come per piccole oscillazioni, il periodo sia effettivamente quello atteso dall'approssimazione dell'oscillatore armonico: T=2π/√(g/l)=2.007 s, ma aumenti significativamente per grandi ampiezze.

In questo caso l'integrazione numerica dell'equazione differenziale non si può effettuare per un tempo predefinito, ma deve essere portata avanti fino a quando non si raggiunge una condizione compatibile con l'aver terminato l'oscillazione. Una possibile soluzione consiste in: dare come condizioni iniziali un valore di θ pari all'ampiezza di oscillazione e velocità angolare iniziale nulla; portare avanti l'integrazione fino a quando non si nota un cambiamento di segno della velocità angolare; siccome possiamo calcolare la velocità solo con granularità pari al passo di integrazione, possiamo stimare il passaggio dallo zero interpolando linearmente tra i due ultimi valori della velocità e calcolando quando la retta ottenuta passa per lo zero; il tempo così calcolato corrisponde al semiperiodo dell'oscillazione. Un esempio di pseudo-codice che implementa questo algoritmo è: N.B.: controllate che la formula per l'interpolazione sia corretta!

L'equazione dell'oscillatore armonico smorzato con forzante è data dalla relazione d2x/dt2 = -ω02 x - α * dx/dt + sin(ω t) Nell'esercizio proposto utilizzare come valori iniziali per ω0 e α: ω0 = 10 rad/s α= 1/30 s. È bene ricordare che per determinare l'ampiezza bisogna aspettare che il transiente delle oscillazioni si esaurisca. Questo avviene con una costante di tempo pari a 1/α (ovvero dopo un tempo 1/α l'ampiezza di oscillazione si riduce di un fattore 1/e). Le seguenti figure illustrano la parte iniziale del transiente per condizioni iniziali x(0)=0, dx/dx(0)=0 e diversi valori di ω: ω=5 rad/s ω=10 rad/s ω=15 rad/s Si consiglia quindi di integrare l'equazione differenziale per un tempo pari ad almeno dieci volte 1/α, in modo da raggiungere una situazione in cui l'oscillazione è stabile, e poi valutare l'ampiezza. Anche in questo caso si può assumere di aver raggiunto il massimo dell'oscillazione nel momento in cui si trova un punto in cui la velocità cambia di segno. Una curva di risonanza è illustrata in figura:

Nell'implementare il moto di un corpo in un campo gravitazionale utilizzare le seguenti condizioni: - costante gravitazionale G = 6.6742 10-11 m3 kg-1 s-2 - massa del Sole MO = 1.98844 1030 kg - distanza Terra-Sole al perielio = 147098074 km - velocità al perielio = 30.287 km/s

Il moto di una particella carica in un campo elettrico e magnetico uniformi risente della forza di Lorentz e pertanto è descritto dall'equazione m d2x/dt2 = q E + q v×B che si può riscrivere in forma matriciale come Consideriamo il moto nel piano (x,y) di un elettrone in un campo magnetico costante con i seguenti valori: q = -1.60217653 10-19 C m = 9.1093826 10-31 kg vx(0) = 8 106 m/s Bz = 5 10-3 T tutte le altre componenti di campi e velocità iniziali sono nulle. Questi parametri corrispondono grosso modo all'apparato sperimentale per la misura di e/m del laboratorio del II anno.