Introduzione

Una misura sperimentale consiste nella raccolta di un insieme di dati, che non sono esatti, ma di cui è generalmente nota la distribuzione statistica (tipicamente si assume una distribuzione gaussiana attorno al valore vero). Generalmente questi dati vengono poi elaborati per dedurne il valore di grandezze fisiche interessanti. Per esempio, dalle misure del periodo di oscillazione e della lunghezza di un pendolo, si può ricavare il valore dell'accelerazione di gravità:

$$g=\frac{4\pi ^{2}l}{T^{2}}.$$

In un caso come questo, in cui la dipendenza funzionale della grandezza fisica significativa dalle quantità misurate è relativamente semplice, possiamo stimare l'errore su attraverso le semplici formule di propagazione degli errori:

$$\left( \frac{\sigma _{g}}{g}\right) ^{2}=\left( \frac{\sigma _{l}}{l}\right) ^{2}+\left( 2\frac{\sigma _{T}}{T}\right) ^{2}.$$

Tuttavia molto spesso un esperimento richiede un'analisi dei dati molto più complessa e non è possibile dare una semplice formula matematica per connettere le variabili misurate (e le loro incertezze) con le variabili derivate (e le loro incertezze). In altri casi l'ipotesi stessa di errori gaussiani non è valida. In tal caso si deve procedere ad una simulazione del processo di analisi dei dati per essere in grado di valutare se il procedimento è corretto e dare una stima delle incertezze.

Tale processo viene anche utilizzato durante il progetto di nuovi esperimenti, per rispondere a domande del tipo: ``Se voglio ottenere un certo errore sulla grandezza fondamentale X, con quale errore devo misurare le quantità osservabili W, Y e Z?''

In questo laboratorio, costruiremo una simulazione dell'esperienza del prisma di rifrazione e ne analizzeremo i dati utilizzando il metodo dei minimi quadrati. In questa esperienza tutta la propagazione degli errori può essere calcolata esplicitamente ed anche la determinazione dei parametri può essere fatta usando una regressione lineare. Questo permetterà in ogni momento di controllare i risultati della procedura.

Nel seguito verranno indicati degli obiettivi da raggiungere. Essi saranno indicati in grassetto. In più saranno indicati alcuni aspetti opzionali. Essi verranno indicati in corsivo. Infine la sezione 6 contiene un argomento addizionale da svolgere per chi fosse interessato a vedere come funziona il metodo di nel caso non lineare.

Come esempio di caso in cui la propagazione gaussiana degli errori non è valida, considerate una quantità , che è stata misurata valere . Applicando la propagazione degli errori, quale sarebbe la migliore stima di ed il suo errore? Provate ora a generare 10000 misure di usando una distribuzione gaussiana con valor medio e . Usate queste misure per generare la distribuzione di : la distribuzione è gaussiana? Che valore medio ha? Qual è il valore della sua r.m.s.?

Come esempio di procedura per la quale non e' facile dare una stima a priori della precisione, immaginate il seguente metodo per la stima di . Siano e due numeri estratti casualmente da una distribuzione uniforme tra 0 e 1. Consideriamo un esperimento consistente di 10000 estrazioni della coppia , : può venire stimato dalla frequanza osservata dei casi in cui (è semplice dimostrare che la probabilità di tale evento è pari a ). Effettuate 100 di questi esperimenti: quali sono il valor medio e la varianza di dei valori ottenuti? Questo puo' sembrare un esempio banale, ma è più o meno cosí che funzionano le misure di sezione d'urto in fisica nucleare e subnucleare...