...una parte molto opzionale

In questo caso, la relazione (1) è lineare nei parametri e , ma non sempre si ha il caso di relazioni lineari tra i parametri e le grandezze osservate.

Nel caso la relazione non fosse lineare, il procedimento per la determinazione dei parametri diventa praticamente non risolvibile in modo analitico, ma ancora accessibile dal punto di vista numerico.

Supponiamo di avere delle misure con errore , esprimibili in termini di alcune variabili note e di parametri da determinare , di modo che, in assenza di errori sperimentali si avrebbe la relazione

$$y_{i}=f\left( x_{i},A,B,\ldots \right) .$$

La migliore stima dei parametri è quella che minimizza il

$$\chi ^{2}\left( A,B,\ldots \right) =\sum ^{N}_{i=1}\frac{\le... ...\left( x_{i},A,B,\ldots \right) \right) ^{2}}{\sigma _{i}^{2}}.$$

Se abbiamo una soluzione di prova dei parametri sufficientemente vicina a quella vera, possiamo scrivere

$$f\left( x_{i},A,B,\ldots \right) \approx f\left( x_{i},A_{0}... ...x_{i},A_{0},B_{0},\ldots \right) \left( B-B_{0}\right) +\ldots$$

ed il è lineare nelle nuove incognite , e cosí via.

La condizione del minimo del diventa quindi il sistema di equazioni

$$\begin{array}{ccccc} \frac{\partial \chi ^{2}}{\partial \lef... ...ac{\partial f}{\partial B} & =0\\ & & \vdots & & \end{array}$$ (7)

È facile vedere che usando le definizioni

$$W=\left( \begin{array}{ccc} 1/\sigma _{1}^{2} & & \\ & 1/\sigma _{2}^{2} & \\ & & \ddots \end{array}\right)$$

$$D=\left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial f}{\partial A}\le... ...ght) & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right)$$

$$Y=\left( \begin{array}{c} y_{1}-f\left( x_{1},A_{0},B_{0},\l... ..._{2},A_{0},B_{0},\ldots \right) \\ \vdots \end{array}\right)$$

$$\delta =\left( \begin{array}{c} \delta A\\ \delta B\\ \vdots \end{array}\right)$$

il sistema (7) può essere scritto in forma matriciale

$$D^{T}WY-D^{T}WD\delta =0$$ (8)

da cui è evidente che la soluzione per il vettore è

$$\delta =\left( D^{T}WD\right) ^{-1}D^{T}WY.$$ (9)

A questo punto risulta chiaro come procedere: data una stima iniziale dei parametri, si determina un incremento degli stessi che porta verso un valore inferiore del . Si utilizza questa nuova stima dei parametri come punto centrale di un nuovo sviluppo di Taylor, e si continua iterativamente, fino a quando gli incrementi sono sufficientemente piccoli confrontati con gli errori.

Per provare su di un caso concreto, si possono utilizzare come i valori di già usati nella sezione 5. La funzione sarà

$$f\left( \lambda ,A,B\right) =\sqrt{A+\frac{B}{\lambda ^{2}}}.$$

Siccome ci sono solo due parametri, è una matrice e quindi facile da invertire.

Si può poi confrontare se i valori di e ottenuti con questo metodo sono vicini a quelli stimati con il fit lineare.

Si può dimostrare che la matrice

$$C=\left( D^{T}WD\right) ^{-1}$$

è della forma

$$\left( \begin{array}{ccc} \sigma _{A}^{2} & \rho _{AB}\sigma... ... & \sigma ^{2}_{B} & \\ \vdots & & \ddots \end{array}\right)$$

dove è una generalizzazione della grandezza definita in (4):

$$\rho _{AB}=\frac{\left\langle \left( A-\left\langle A\right\... ...t( B-\left\langle B\right\rangle \right) ^{2}\right\rangle }}.$$ (10)

La matrice si dice ``matrice di covarianza'' dei parametri