Lezione 6

Parola chiave virtual

ESERCIZIO 6.1 - Classe astratta FunzioneBase :
In questo e nei prossimi esercizi avremo a che fare con diverse funzioni di una sola variabile, magari dipendenti da parametri, e di effettuare delle operazioni generiche su queste funzioni (come trovarne gli zeri, o farne l'integrale).
In questo caso è utile definire una classe astratta che definisce le proprietà generali della classe, con metodi puramente virtuali, e poi lasciare alle classi derivate il compito di implementare tutti questi metodi e quelli aggiuntivi necessari. Notate in questo caso che è buona prassi definire il distruttore di una classe madre astratta come virtual in modo che il distruttore della classe figlia venga invocato correttamente quando un oggetto di tipo classe figlia viene distrutto.

Definire la classe astratta FunzioneBase:
Implementare una classe derivata Parabola che descriva una funzione del tipo y=ax²+bx+c (chiaramente questa classe dovrà avere i data membri per i parameteri a, b e c, ed i metodi per definirli e accederci).
Verificare il funzionamento della classe Parabola costruendo un programmino che, dati i parametri di una parabola, ne stampi il valore della y nel vertice x_v=-b/2a.

Brevi Richiami

Classi astratte

Classe Parabola

ESERCIZIO 6.2 - Metodo della bisezione (da consegnare):
Scrivere un programma che calcoli gli zeri della funzione ƒ(x) = 3x²+5x-2.
Il programma legge da riga di comando gli estremi dell'intervallo in cui cercare lo zero e la precisione richiesta.
Per calcolare gli zeri, implementare una classe astratta Solutore ed una classe concreta che realizza uno dei due metodi visti a lezione: quello della bisezione o quello della secante.
Si richiede obbligatoriamente che il programma stampi l'ascissa dello zero con un numero di cifre significative corrispondente alla precisione immessa.

Brevi Richiami

Il metodo della bisezione

Data una funzione ƒ(x), si dice zero, o radice, di ƒ un elemento x₀ del suo dominio tale che ƒ(x₀) = 0.

Ci proponiamo di trovare gli zeri della funzione ƒ(x) = x²-2 utilizzando il metodo di bisezione. È l'algoritmo più semplice: consiste in una procedura iterativa che, ad ogni ciclo, dimezza l'intervallo in cui si trova lo zero.

Dal teorema di Bolzano (o degli zeri) sappiamo che data una funzione ƒ continua sull'intervallo chiuso [a,b] a valori in ℜ tale che ƒ(a)*ƒ(b) < 0,
allora esiste un punto x₀ all'interno di [a,b] tale che ƒ(x₀) = 0.

Definiamo intervallo di incertezza di ƒ un intervallo [a,b] che soddisfa il Teorema di Bolzano.
L'idea di base dell'algoritmo è che se esiste un intervalo di incertezza [a,b] per una funzione ƒ, allora ne esiste uno più piccolo (esattamente la metà).
L'algoritmo deve avere in input l'intervallo di incertezza di partenza [a,b] ed una precisione (o tolleranza) ε con cui si vuole trovare lo zero di ƒ tale che |b - a| < ε.

Si parte quindi dividendo in due l'intervallo trovando il punto medio c = a + 0.5*(b-a) per cui avremo due intervalli [a,c] e [c,b].
Ora se ƒ(c) = 0 siamo fortunati e abbiamo trovato lo zero.
Altrimenti si deve valutare ƒ(a)*ƒ(c) e ƒ(c)*ƒ(b) e ripetere la procedura sull'intervallo in cui ƒ cambia di segno.
La procedura va ripetuta finchè la larghezza dell'intervallo finale non è minore di ε.

Ci sono alcuni caveat. Se l'intervallo contiene più di una radice il metodo della bisezione ne troverà solo una.
Nell'implementazione delle condizioni di ricerca dall'intervallo di incertezza occorre prestare attenzione alle operazioni tra floating point soprattutto in prossimità della radice.
Ad esempio le espressioni ƒ(a)*ƒ(c) e ƒ(c)*ƒ(b) hanno una buona probabilità di essere approssimata a zero dal momento che entrambi gli argomenti convergono a una radice di ƒ. Per evitare questa eventualità, è meglio valutare, il prodotto dei segni sign(ƒ(a))*sign(ƒ(c)) e sign(ƒ(c))*sign(ƒ(b)).
Un altro controllo utile è contare il numero di iterazioni dell'algoritmo e stampare un avviso nel caso queste siano troppo grandi.
In tal modo ci si accorge se ci sono possibili problemi nel ciclo (errori o richiesta di precisione troppo alta)

Precisione sulle cifre significative

La funzione segno

Classe astratta Solutore

ESERCIZIO 6.3 - Equazioni non risolubili analiticamente (da consegnare):
In problemi di meccanica quantistica che verranno studiati nel prossimo anno, ci si può imbattere in equazioni del tipo:
x = tanx
È facile rendersi conto che tale equazione ha una soluzione in ciascuno degli intervalli (nπ,nπ+π/2), n=1,2,3... Calcolare con una precisione di almeno 10^-6 i valori delle soluzioni per n da 1 a 20.
Suggerimento: riscrivere l'equazione come sinx-xcosx=0.

ESERCIZIO 6.4 - Miglioramenti di Solutore:
Aggiungere a Solutore due nuovi metodi virtuali:
Nuovi metodi di Solutore

Il primo dovrà restituire vero o falso a seconda che lo zero sia stato effettivamente trovato o meno. Ad esempio se un algoritmo non riesce a convergere per via delle cattive condizioni iniziali Trovato() dovrà restituire false.
Il secondo dovrà restituire l'incertezza effettiva sull'ascissa dello zero stimato, che di solito è migliore del minimo requisito sulla precisione immagazzinato in _prec.
Implementare questi metodi nelle classi concrete usate per gli altri esercizi di questa lezione.

ESERCIZIO 6.5 - Ricerca di zeri di una funzione senza uso del polimorfismo :
Si provi ad implementare un algoritmo di ricerca degli zeri di una funzione senza utilizzare il polimorfismo. Prendere come spunto le soluzioni indicate nelle trasparenze finali della lezione teorica. Si potrebbe codificare il metodo della bisezione in una funzione che accetti in input una std::function e modellizzare la funzione di cui si vuole cercare lo zero con una funzione lambda.